Was ist Lineare Algebra?

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Die lineare Algebra kombiniert Multivariate Kalkulation, Differentialgleichungen und Wahrscheinlichkeitsrechnung zu einer weithin anwendbaren mathematischen Theorie und einem System, das die Grundlage für viele Technologien in unserem Leben bildet. Im Kern untersucht die lineare Algebra Vektoren und lineare Funktionen, um lineare Gleichungssysteme zu lösen, die mehrere Variablen enthalten. Der Schwerpunkt liegt dabei auf der Berechnung von Vektoren, d. h. Punkten im Raum mit Größe und Richtung, und Matrizen, d. h. Zahlentabellen. 

Lineare Algebra ist zwar keine Voraussetzung für den Einstieg in das maschinelle Lernen, ihre Konzepte sind jedoch grundlegend für ein tieferes Verständnis der beim maschinellen Lernen verwendeten Algorithmen. Sie kann hilfreich sein, wenn Sie mit Konzepten des maschinellen Lernens konfrontiert werden, damit Sie bei der Entwicklung eines neuen maschinellen Lernsystems fundierte Entscheidungen treffen können. 

Dieser Artikel befasst sich mit den Konzepten der linearen Algebra, ihren Verwendungszwecken, den Nutzern der linearen Algebra, ihrer Verwendung beim maschinellen Lernen und der Frage, wie man lineare Algebra studiert. 

Konzepte in der linearen Algebra

Die lineare Algebra enthält viele anwendbare Konzepte. Hier sind einige der Konzepte der linearen Algebra, die auch beim maschinellen Lernen nützlich sind:

• Vektoren und Vektorräume

• Systeme von linearen Gleichungen

• Matrizen

• Eigenwerte und Eigenvektoren

Schauen wir uns die einzelnen Konzepte genauer an. 

Vektoren und Vektorräume

Ein Vektor ist eine Größe, die einen Betrag und eine Richtung hat. In der linearen Algebra können Sie mehrere Vektoren addieren, indem Sie die Regeln der Vektoraddition und -multiplikation befolgen. Die lineare Algebra befasst sich mit vielen Arten von Vektoren:

• Potenzreihen

• Polynome

• Zahlen

• n-Vektoren

• Funktionen mit einem bestimmten Bereich

• Polynome 2. Ordnung

Ein Vektorraum ist eine Menge, in der die Eigenschaften eines Vektors addiert und multipliziert werden. Vektorräume haben 10 Axiome, denen Vektoren bei der Addition und Multiplikation folgen. 

Systeme von linearen Gleichungen

In der linearen Algebra werden lineare Funktionen untersucht, d. h. Funktionen, die Vektoren als Eingabe und Ausgabe haben. Eine Matrix ist ein Beispiel für eine lineare Funktion, wenn sie durch Umwandlung eines Vektors in einen anderen Vektor multipliziert wird. Ein lineares Gleichungssystem wird durch eine erweiterte Matrix in eine Matrixgleichung umgewandelt, was als Gaußsche Eliminierung bezeichnet wird. Um ein System linearer Gleichungen zu lösen, verwendet man die reduzierte Zeilen-Echelon-Form, die das Gleichungssystem in eine Matrix vereinfacht und die lineare Gleichung in eine lösbare Form bringt. 

Matrizen

Eine Matrix ist das Ergebnis eines Systems, das lineare Funktionen ordnet. Es ist wichtig zu wissen, dass die lineare Algebra Matrizen als Notation innerhalb der linearen Algebra verwendet, aber das Wesentliche der linearen Algebra sind lineare Funktionen, nicht Matrizen. In Bezug auf Matrizen lernen Sie die Notation, wie Matrizen mit linearen Operatoren funktionieren, die Eigenschaften von Matrizen, inverse Matrizen und wie man mit verschiedenen Matrizen in linearen Systemen arbeitet. 

Eigenwerte und Eigenvektoren

In der linearen Algebra lernen Sie etwas über Eigenwerte und Eigenvektoren. Eine der wichtigsten Gleichungen in der linearen Algebra ist die Eigenwert-Eigenvektor-Gleichung. Eigenwerte und Eigenvektoren sind Komponenten einer zerlegten Matrix. Diese Komponenten der zerlegten Matrix ermöglichen eine einfachere Analyse von komplexen Matrizen. Sie bieten nützliche Methoden zur Zerlegung von Matrizen für das maschinelle Lernen. 

Wofür wird die lineare Algebra verwendet?

Die lineare Algebra hat eine Vielzahl von Anwendungen sowohl in der angewandten Mathematik als auch in der abstrakten Mathematik. Die lineare Algebra untersucht lineare Systeme wie Rotationen in einem bestimmten Raum und Systeme von Differentialgleichungen. Viele Disziplinen wie Chemie, Physik, Wirtschaft und Ingenieurwesen verwenden die lineare Algebra; die lineare Algebra ist jedoch auch ein wesentlicher Zweig der Mathematik in den Datenwissenschaften und im maschinellen Lernen.

Besondere Anwendungen findet sie in globalen Positionierungssystemen (GPS), bei der Analyse von Spannungen und Strömen in elektrischen Schaltkreisen, in Markov-Ketten und statistischen Modellen, bei der Dekodierung und Kodierung von Nachrichten in der Kryptografie und bei der Erstellung von 3D-Computergrafiken. 

Wer nutzt die lineare Algebra?

Menschen, die in einer Reihe von Branchen arbeiten, verwenden lineare Algebra, zum Beispiel:

• Ingenieurwesen

• Computerwissenschaften

• Mathematik

• Physik

• Biologie

• Wirtschaftswissenschaften

• Statistik

Schauen wir uns einige Berufe und ihre Beziehung zur linearen Algebra näher an.

Wirtschaftswissenschaftler

Durchschnittliches Jahresgehalt in Deutschland (Glassdoor): € 51.000 zu € 55.000 [1]

Wirtschaftswissenschaftler verwenden lineare Algebra bei der Analyse makroökonomischer und wirtschaftspolitischer Theorien unter Verwendung des Input-Output-Modells, um die Wechselbeziehungen zwischen Wirtschaftszweigen zu ermitteln. 

Ingenieure für Luft- und Raumfahrt

Durchschnittliches Jahresgehalt in Deutschland (Glassdoor): € 106.000 zu € 114.000 [2]

Luft- und Raumfahrtingenieure verwenden lineare Algebra bei der Entwicklung von Kontrollsystemen für Space Shuttles und nutzen dabei die Eigenschaften der Multiplikation von Funktionen mit Skalaren in Vektorräumen, um den Flug zu überwachen und stabil zu halten. 

Ökologen

Durchschnittliches Jahresgehalt in Deutschland (Glassdoor): € 50.000 zu € 54.000 [3]

Ökologen verwenden die lineare Algebra, um zu berechnen, wie viel Platz vom Aussterben bedrohte Arten benötigen, wenn ihr Land schrumpft, indem sie dynamische Systeme mithilfe von Eigenwerten und Eigenvektoren analysieren. 

Ingenieure für maschinelles Lernen 

Die lineare Algebra umfasst viele Prozesse, die beim maschinellen Lernen auftreten, auch wenn der Computer die mathematischen Berechnungen durchführt. Grundlegende Kenntnisse der Notation der linearen Algebra, der Operationen in der linearen Algebra und der Zerlegung von Matrizen ermöglichen Ihnen ein tieferes Verständnis der Funktionsweise Ihrer Algorithmen und ihrer Aufgaben. 

Aber auch wenn Sie tiefer einsteigen, erhalten Sie ein grundlegendes Verständnis der Berechnungen, die beim maschinellen Lernen stattfinden. Darüber hinaus erhalten Sie durch die Kenntnis dieser Grundlagen ein besseres Gespür für die Funktionsweise von Algorithmen, sodass Sie weitere Algorithmen verstehen und eigene Algorithmen entwickeln können. Ein wichtiger Bereich des maschinellen Lernens, der stark auf lineare Algebra angewiesen ist, ist die Entwicklung von Deep Learning in der Stimmungsanalyse, der Verarbeitung natürlicher Sprache (NLP) und der Computer Vision. Hierbei werden Daten in Vektoren umgewandelt und von neuronalen Netzwerken analysiert.

Wie man lineare Algebra studiert

Wenn Sie bereits an einer Universität eingeschrieben sind, belegen Sie Kurse in linearer Algebra, machen Sie sich Notizen, lesen Sie das Lehrbuch, besuchen Sie Vorlesungen und lassen Sie sich bei Bedarf von Professoren helfen. Wenn Sie die lineare Algebra selbständig lernen möchten, können Sie einige der folgenden Möglichkeiten nutzen, um Ihre Fähigkeiten zu verbessern:

• Nehmen Sie an Online-Einführungskursen teil.

• Lesen Sie Lehrbücher über lineare Algebra. 

• Belegen Sie einen Kurs auf Coursera, z. B. Grundlegende Lineare Algebra für Data Science von der University of Colorado Boulder.

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